最小生成树（Kruskal 算法）

原理介绍

最小生成树：在一个带权无向连通图中，找到一棵连接所有顶点的树，使得边的权值之和最小。

Kruskal 算法核心思想

Kruskal 算法基于贪心策略，按照边权从小到大依次选择边，若该边连接的两个顶点尚未连通（即加入后不会形成环），则将其加入生成树，直到选出 n-1 条边为止。

算法步骤：

  1. 将所有边按权值从小到大排序。
  2. 初始化并查集，每个顶点各自为一个集合。
  3. 遍历排序后的边：
    • 若边的两个端点不在同一集合，则加入生成树，并合并两个集合。
    • 若已在同一集合，则跳过（避免成环）。
  4. 若最终选出的边数等于 n-1，则成功构建最小生成树；否则图不连通，不存在生成树。

时间复杂度：排序 O(m log m)，并查集操作近似 O(m α(n))，总复杂度约为 O(m log m)。

与 Prim 算法的对比：

  • Kruskal 适合稀疏图（边少），因为主要操作是排序。
  • Prim 适合稠密图（边多），可用堆优化至 O((n+m) log n)。

以下附上代码:

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n, m;
struct Edge {
    int x, y, w;
    Edge(int a, int b, int c) : x(a), y(b), w(c) {}
};
vector<Edge> edges;
vector<int> fa;

bool cmp(Edge a, Edge b) {
    return a.w < b.w;
}

int find(int u) {
    if (u == fa[u]) return u;
    return fa[u] = find(fa[u]);
}
void unite(int u, int v) {
    u = find(u);
    v = find(v);
    if (u != v) fa[u] = v;
}

ll kruskal() {
    sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);
    ll total = 0;     // 总权值
    int cnt = 0;      // 已选边数
    for (auto &e : edges) {
        int x = find(e.x), y = find(e.y);
        if (x != y) {
            total += e.w;
            cnt++;
            unite(x,y);
        }
        if (cnt == n-1) break;
    }
    return cnt == n - 1 ? total : -1; // -1 表示不连通
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    int u, v, w;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> u >> v >> w;
        edges.emplace_back(u, v, w);
    }
    fa.resize(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

    ll ans = kruskal();
    if (ans == -1) cout << "impossible\n";
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}